Problem:
Same system ( G(s) = \frac5s+2 ). Design a PI controller ( K_p + \fracK_is ) so that the closed-loop system has zero steady-state error to a step and a dominant pole at ( s = -3 ).
Solution:
Answer: ( K_p = 0.8,\ K_i = 1.8 ). Error = 0.
| Ejercicio | Concepto clave | Resultado principal | |-----------|----------------|----------------------| | 1 | Proporcional puro | Error permanente = 1/(1+Kp·G(0)) | | 2 | Acción integral | Elimina error escalón | | 3 | Ziegler-Nichols | Reglas empíricas para sintonía inicial | | 4 | Asignación de polos | PID cancela polos y coloca dinámica deseada | | 5 | Estabilidad | Rango crítico de Kp, Ki para evitar inestabilidad |
Planta:
[
G(s) = \frac1(s+1)(s+2)
]
Diseñar:
Resolver: Obtener y comparar la respuesta al escalón unitario.
Margen de fase positivo (22.6°) pero pequeño (<45°). El sistema es estable pero muy oscilatorio. Se recomienda reducir ( K_p ) o aumentar ( T_d ) para mejorar el margen.
Respuesta:
a) ( G_LA(s) = \frac0.5s^2 + 10s + 2s^2(s+1) )
b) Margen de fase ≈ 22.6° → estable pero con respuesta transitoria pobre.
[ K_p = 3 ] [ K_i = \fracK_pT_i = \frac34 = 0.75 \text s^-1 ] [ K_d = K_p \times T_d = 3 \times 1 = 3 \text s ]
Respuesta: El PID sintonizado es ( K_p = 3 ), ( K_i = 0.75 ), ( K_d = 3 ). control pid ejercicios resueltos
Nota práctica: Este método produce un sobreimpulso típico del 25-30%. Para sistemas críticos, se recomienda refinar fino mediante ajustes empíricos.
Buscamos ( \omega_c ) tal que ( |G_LA(j\omega_c)| \approx 1 ).
Aproximación asintótica:
Para ( \omega ) entre 0.2 y 1, domina el polo en 0 (doble) y el cero en 0.2.
El cero en 0.2 da una pendiente de +20 dB/déc a partir de 0.2. El polo doble en 0 da -40 dB/déc abajo. neto -20 dB/déc hasta ω=1.
En ω=1:
( |G_LA(1)| \approx \frac0.5 \times 1 \times (1+19.8?)) – mejor calcular numéricamente:
Para ω=10 rad/s:
Magnitud aproximada:
Cero s+0.2: módulo ≈ 10, cero s+19.8: módulo ≈ 29.8
Polos: s² da ω²=100, polo s+1 da √(101)≈10.05
Entonces ( |G_LA(10)| \approx \frac0.5 \times 10 \times 29.8100 \times 10.05 \approx \frac1491005 \approx 0.148 ) (menor que 1). Problem:
Same system ( G(s) = \frac5s+2 )
Para ω=5 rad/s:
Cero 5+0.2=5.2, cero 5+19.8=24.8, producto=129
Polos: ω²=25, polo s+1: √(26)=5.1
|G|=0.5129/(255.1)=64.5/(127.5)=0.506 (aún <1)
Para ω=3 rad/s:
Cero3.2, cero22.8 → 72.96
Polos ω²=9, polo √(10)=3.16 → 28.44
|G|=0.572.96/(93.16)=36.48/28.44=1.283 (>1)
Entonces ω_c está entre 3 y 5 rad/s. Aproximadamente ω_c ≈ 4 rad/s.
Fase de cada término:
Fase total = 87.14 + 11.42 - 180 - 75.96 = -157.4° Answer: ( K_p = 0
Margen de fase = 180° - |fase| = 180 - 157.4 = 22.6°