Dinh Ly Lon Fermat Chung Minh

Fermat himself proved the case (n = 4) using infinite descent, a method he invented. This automatically proved all cases where (n) is a multiple of 4.

Tuy vậy, mỗi lần tăng số mũ lên, bài toán lại trở nên cực kỳ phức tạp. Cách tiếp cận này không thể giải quyết cho mọi n.

Năm 1847, Gabriel Lamé và Augustin Cauchy gần như đồng thời tuyên bố đã chứng minh định lý Fermat cho mọi (n). Cả hai dùng cùng một ý tưởng: phân tích (x^n + y^n) thành tích các số phức dạng ((x + y\zeta)(x + y\zeta^2)...) với (\zeta) là căn bậc (n) của đơn vị.

Nhưng Joseph Liouville chỉ ra một lỗ hổng chí tử: Tính chất phân tích duy nhất thành thừa số nguyên tố không còn đúng trong trường số phức đó.

Ngay sau đó, Ernst Kummer phát hiện rằng lỗi đó là thật, và ông đã cứu vãn ý tưởng bằng cách đưa ra khái niệm số nguyên tố đều (regular primes). Ông chứng minh định lý Fermat đúng cho mọi số nguyên tố đều, và chỉ có một số ít ngoại lệ. Đến cuối đời Kummer, định lý đã được chứng minh cho mọi số mũ (n < 100) (trừ vài trường hợp). dinh ly lon fermat chung minh

For integer ( n > 2 ), the equation
[ a^n + b^n = c^n ]
has no positive integer solutions ((a, b, c)).

Sophie Germain (1776–1831) proved that if (n) is an odd prime and (2n+1) is also prime, then any solution would have to satisfy special divisibility conditions. Her work inspired many later attempts.

In 1637, the French lawyer and amateur mathematician Pierre de Fermat scribbled a note in the margin of a textbook. He was looking at Pythagoras' famous equation:

$$x^2 + y^2 = z^2$$

We all know this works: $3^2 + 4^2 = 5^2$ (9+16=25). There are infinitely many whole number solutions.

Fermat wondered: What if we change the exponent?

He wrote the following equation:

$$x^n + y^n = z^n$$

He claimed that if the exponent n is greater than 2, there are no positive whole number solutions (x, y, z). For example, $3^3 + 4^3 = 27 + 64 = 91$, which is not a perfect cube ($4^3 = 64$, $5^3 = 125$).

Then, he wrote the most infamous sentence in math history:

"I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain."

He died without publishing it. The chase was on. Fermat himself proved the case (n = 4)

Andrew Wiles, working in secrecy at Princeton, aimed to prove the modularity theorem for semistable elliptic curves. He used Galois representations and a deep technique called modularity lifting.

The two papers — “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem” by Wiles, and “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras” by Taylor and Wiles — appeared in Annals of Mathematics in 1995.