Paso 1: Ya está en forma canónica. Es un paraboloide hiperbólico (silla de montar).
Paso 2: Analicemos trazas clave:
Paso 3: Punto de silla en (0,0,0).
Paso 4: No tiene máximo ni mínimo absoluto.
✅ Respuesta: Es la típica "silla de montar", muy común en optimización con puntos críticos (saddle point).
📌 Dato "hot": Esta superficie es usada en economía para modelar curvas de utilidad marginal. superficies cuadraticas ejercicios resueltos hot
Enunciado: Clasificar: ( z = 4x^2 + y^2 )
Solución: Es un paraboloide elíptico (términos cuadráticos positivos, una variable lineal). Abre hacia arriba. Trazas horizontales (( z = k )) son elipses: ( 4x^2 + y^2 = k ). No confundir con cono porque no está igualado a cero sino a z lineal.
To solve exercises efficiently, one must memorize the distinctive characteristics of the main surfaces.
Problema: Reduzca y clasifique: ( z = x^2 - y^2 ).
Solución:
Aplicación: Esta superficie aparece en estructuras de cubiertas de edificios (por su doble curvatura, es muy rígida) y en modelos económicos de utilidad marginal.
Enunciado:
Determine la superficie dada por:
[
x^2 + y^2 - z^2 = 1
]
Solución:
Es un hiperboloide de una hoja (coeficientes de (x^2) e (y^2) positivos, (z^2) negativo, =1).
Eje de simetría: z.
✅ Respuesta: Hiperboloide de una hoja alrededor del eje z. Paso 1: Ya está en forma canónica
Problem: Identify the surface defined by: $$ x^2 + y^2 - z^2 + 6z = 0 $$
Solution:
Step 1: Analyze the Equation We see quadratic terms for $x, y, z$. The presence of a linear term ($6z$) suggests we need to complete the square to eliminate the linear term and find the center.
Step 2: Completing the Square Group the variable with the linear term ($z$) and leave the others aside. $$ x^2 + y^2 - (z^2 - 6z) = 0 $$
Complete the square for $z^2 - 6z$: Take half of -6 (which is -3) and square it (9). Add and subtract 9 inside the parenthesis. $$ x^2 + y^2 - (z^2 - 6z + 9 - 9) = 0 $$ $$ x^2 + y^2 - [(z-3)^2 - 9] = 0 $$ Distribute the negative sign: $$ x^2 + y^2 - (z-3)^2 + 9 = 0 $$ Subtract 9 from both sides to isolate the variables: $$ x^2 + y^2 - (z-3)^2 = -9 $$ Divide by -9 to make the right side equal to 1: $$ \fracx^2-9 + \fracy^2-9 - \frac(z-3)^2-9 = 1 $$ Wait, let's re-order to keep standard sign conventions positive where possible. Let's rewrite the line before dividing: $$ (z-3)^2 - x^2 - y^2 = 9 $$ $$ \frac(z-3)^29 - \fracx^29 - \fracy^29 = 1 $$ Paso 3: Punto de silla en (0,0,0)
Step 3: Classification
Step 4: Geometric Properties